중심극한정리 (Central Limit Theorem)

한줄 요약

1. 모집단에서 샘플을 랜덤 추출하여 평균값을 구하는 것을 n번 반복하면, n개의 평균값이 생긴다.

2. 이 때 n이 충분히 크다면, n개의 평균값은 정규분포(Normal Distribution)를 보이고,

3. 그 정규분포의 평균은 모집단의 모평균 µ과 같고, 표준편차는 𝛒/sqrt(n)을 따른다 (σ=모집단의 모표준편차).

n이 얼마나 커야 충분히 큰 것인가?

• n > 30 이면 크다고 인정

• n < 10 이면 절대적으로 작음

• 그 사이는 케바케: 정규성 검정을 해 보면 암.

모집단이 어떤 모양(분포)인지는 중요하지 않다

가정해보자:

1. 1에서 100까지 숫자가 써진 카드가 1장씩 있다.
   • 이 분포는 그냥.. 평범한 일자형 분포이다.
   • x축에 1~100까지 눈금을 그리면 y축은 모두가 1인 그냥 균등분포이다.

     

2. 여기서 랜덤으로 카드 10장을 골라 평균을 내면,
   • 우연히 낮은 수만 10개 뽑아서 평균이 1~10 사이가 나올 수도 있고 (극단적으로 1도 가능!),
   • 우연히 높은 수만 10개 뽑아서 평균이 90~100 사이가 될 수도 있지만 (극단적으로 100도 가능!),
   • 적당히 골고루 뽑았다면 평균은 50 근처가 될 것이다.
3. 이 과정을 무한대로 반복하면,
   • 우연히 낮은 수만 뽑거나 우연히 높은 수만 뽑는 경우보다 적당히 골고루 뽑을 확률이 더 크고,
   • 평균값의 histogram을 찍어보면 평균 50 근처가 볼록한 정규분포를 보일 것이다.

     

Simulation

수학 이론은 어려우니 R로 시뮬레이션 해 보자.

• 함수를 하나 만들어서 CLT라고 이름을 붙힌다.
• CLT 함수는 numRepeat, numPick, maxVal 세 가지 변수를 input으로 받는다.
• 함수가 하는 일은 0에서 maxVal 사이에서 중복허용으로 numPick 개의 숫자를 고른 후, 그 평균을 구하는 것을 numRepeat 반복하여 histogram을 그리는 것이다.
• input value를 생략하면 세 변수의 default값은 각각 50, 10, 100이다.

   1 CLT <- function(numRepeat = 50, numPick = 10, maxVal = 100) {
   2  data <- rep(NA,numRepeat)
   3  for (i in 1:numRepeat) {
   4    data[i] <- mean(sample(0:maxVal, size = numPick, replace=T))
   5  }
   6  hist(data)
   7 }

CLT 함수를 호출해보자. numRepeat이 증가할수록 histogram이 정규분포곡선에 가까와지는 것을 알 수 있다.

   1 CLT()
   2 CLT(numRepeat = 500)
   3 CLT(numRepeat = 5000)

동전 10개를 던져 앞면이 나오는 경우의 기대값을 구하고, 이를 5000번 반복하여 histogram을 그려라.

추가 자료

• http://dermabae.tistory.com/146