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| == Central Limit Theorem == * [[WikiPedia:Asymptotic analysis]] * Central Limit Theorem (CLT): * sample size가 크다면 distribution of averages of iid variables (properly normalized) = a standard normal distribution * Normalization: ( X - ''μ'' ) / ( ''σ'' / sqrt(n) ) = Z ~ N( 0, 1 ) * When population SD ''σ'' is unknown, the standard error of the sample mean (SEM) = SD of those sample means over all possible samples * SEM = SD / sqrt(n) * ''σ'' / sqrt ( ''n'' ) = the standard error of the sample mean * Suppose X_1, X_2, ... X_n are independent, identically distributed random variables from an infinite population with mean ''μ'' and variance ''σ''^2^. * if n is large, the mean of the X's, call it X', is approximately normal with mean ''μ'' and variance ''σ''^2^ / n. * 則, X'~ N( ''μ'', ''σ''^2^ / n ). |
#acl +All:read #format wiki #language ko #pragma description 기초의학통계학 및 실험; = 중심극한정리 (Central Limit Theorem) = |
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| * 예시1: 동전 던지기, 앞면 확률 P(h)= ''p'' 라면, E(h) = ''p'', variance = ''p'' ( 1 - ''p'' ) * 동전 던지기를 n 번씩 했을 때, 그 결과의 평균값이 ''μ''이라면, * normalization: ( ''μ'' - ''p'' ) / SD = ( ''μ'' - ''p'' ) / sqrt ( ''p'' ( 1 - ''p'' ) / n ) |
== 한줄 요약 == 1. 모집단에서 샘플을 랜덤 추출하여 평균값을 구하는 것을 n번 반복하면, n개의 평균값이 생긴다. 1. 이 때 n이 충분히 크다면, n개의 평균값은 정규분포([[WikiPedia:Normal Distribution]])를 보이고, 1. 그 정규분포의 평균은 모집단의 모평균 µ과 같고, 표준편차는 𝛒/sqrt(n)을 따른다 (σ=모집단의 모표준편차). === n이 얼마나 커야 충분히 큰 것인가? === * n > 30 이면 크다고 인정 * n < 10 이면 절대적으로 작음 * 그 사이는 케바케: 정규성 검정을 해 보면 암. === 모집단이 어떤 모양(분포)인지는 중요하지 않다 === 가정해보자: 1. 1에서 100까지 숫자가 써진 카드가 1장씩 있다. * 이 분포는 그냥.. 평범한 일자형 분포이다. * x축에 1~100까지 눈금을 그리면 y축은 모두가 1인 그냥 균등분포이다. {{https://support.minitab.com/ko-kr/minitab/18/central_limit_theorem_images_uniform_1.png}} 1. 여기서 랜덤으로 카드 10장을 골라 평균을 내면, * 우연히 낮은 수만 10개 뽑아서 평균이 1~10 사이가 나올 수도 있고 (극단적으로 1도 가능!), * 우연히 높은 수만 10개 뽑아서 평균이 90~100 사이가 될 수도 있지만 (극단적으로 100도 가능!), * 적당히 골고루 뽑았다면 평균은 50 근처가 될 것이다. 1. 이 과정을 무한대로 반복하면, * 우연히 낮은 수만 뽑거나 우연히 높은 수만 뽑는 경우보다 적당히 골고루 뽑을 확률이 더 크고, * 평균값의 histogram을 찍어보면 평균 50 근처가 볼록한 정규분포를 보일 것이다. {{https://support.minitab.com/ko-kr/minitab/18/central_limit_theorem_images_uniform_subgroups_2.png}} === Simulation === 수학 이론은 어려우니 R로 시뮬레이션 해 보자. * 함수를 하나 만들어서 CLT라고 이름을 붙힌다. * CLT 함수는 numRepeat, numPick, maxVal 세 가지 변수를 input으로 받는다. * 함수가 하는 일은 0에서 maxVal 사이에서 중복허용으로 numPick 개의 숫자를 고른 후, 그 평균을 구하는 것을 numRepeat 반복하여 histogram을 그리는 것이다. * input value를 생략하면 세 변수의 default값은 각각 50, 10, 100이다. {{{#!highlight r CLT <- function(numRepeat = 50, numPick = 10, maxVal = 100) { data <- rep(NA,numRepeat) for (i in 1:numRepeat) { data[i] <- mean(sample(0:maxVal, size = numPick, replace=T)) } hist(data) } }}} CLT 함수를 호출해보자. numRepeat이 증가할수록 histogram이 정규분포곡선에 가까와지는 것을 알 수 있다. {{{#!highlight r CLT() CLT(numRepeat = 500) CLT(numRepeat = 5000) }}} {{{ 동전 10개를 던져 앞면이 나오는 경우의 기대값을 구하고, 이를 5000번 반복하여 histogram을 그려라. }}} ---- ==== 추가 자료 ==== * [[http://dermabae.tistory.com/146]] <<Navigation(siblings,1)>> |
중심극한정리 (Central Limit Theorem)
한줄 요약
- 모집단에서 샘플을 랜덤 추출하여 평균값을 구하는 것을 n번 반복하면, n개의 평균값이 생긴다.
이 때 n이 충분히 크다면, n개의 평균값은 정규분포(Normal Distribution)를 보이고,
- 그 정규분포의 평균은 모집단의 모평균 µ과 같고, 표준편차는 𝛒/sqrt(n)을 따른다 (σ=모집단의 모표준편차).
n이 얼마나 커야 충분히 큰 것인가?
n > 30 이면 크다고 인정
n < 10 이면 절대적으로 작음
- 그 사이는 케바케: 정규성 검정을 해 보면 암.
모집단이 어떤 모양(분포)인지는 중요하지 않다
가정해보자:
- 1에서 100까지 숫자가 써진 카드가 1장씩 있다.
- 이 분포는 그냥.. 평범한 일자형 분포이다.
- x축에 1~100까지 눈금을 그리면 y축은 모두가 1인 그냥 균등분포이다.
- 여기서 랜덤으로 카드 10장을 골라 평균을 내면,
- 우연히 낮은 수만 10개 뽑아서 평균이 1~10 사이가 나올 수도 있고 (극단적으로 1도 가능!),
- 우연히 높은 수만 10개 뽑아서 평균이 90~100 사이가 될 수도 있지만 (극단적으로 100도 가능!),
- 적당히 골고루 뽑았다면 평균은 50 근처가 될 것이다.
- 이 과정을 무한대로 반복하면,
- 우연히 낮은 수만 뽑거나 우연히 높은 수만 뽑는 경우보다 적당히 골고루 뽑을 확률이 더 크고,
- 평균값의 histogram을 찍어보면 평균 50 근처가 볼록한 정규분포를 보일 것이다.
Simulation
수학 이론은 어려우니 R로 시뮬레이션 해 보자.
- 함수를 하나 만들어서 CLT라고 이름을 붙힌다.
- CLT 함수는 numRepeat, numPick, maxVal 세 가지 변수를 input으로 받는다.
- 함수가 하는 일은 0에서 maxVal 사이에서 중복허용으로 numPick 개의 숫자를 고른 후, 그 평균을 구하는 것을 numRepeat 반복하여 histogram을 그리는 것이다.
- input value를 생략하면 세 변수의 default값은 각각 50, 10, 100이다.
CLT 함수를 호출해보자. numRepeat이 증가할수록 histogram이 정규분포곡선에 가까와지는 것을 알 수 있다.
동전 10개를 던져 앞면이 나오는 경우의 기대값을 구하고, 이를 5000번 반복하여 histogram을 그려라.